Cet enseignement a pour fonction de rappeler/introduire les notions de mathématiques utiles pour décrire des dispositifs physiques qui peuvent être modélisés par des équations différentielles ordinaire ou des équations aux dérivées partielles.

Il intervient en 1ière année de l'ENSGSI, au 1ier semestre. Et donc il s'adresse à des élèves qui ont des acquis de base de 1ier cycle ou classes préparatoires.

Son contenu vise d'abord à permettre de comprendre les géométries analytique et différentielle dans l'espace à 3 dimensions en insistant sur la spécification de la représentation d'objets réels.

La tactique utilisée est de ne pas partir d'une base de prérequis très importante et de tenter de montrer comment construire ces objets de manière relativement élémentaire.

Évidemment, l'inconvénient de cela est le renoncement à la précision qu'eût apporté une approche plus synthétique. Et dans de nombreux endroits cette précision est remplacée par un flou assez heuristique (pour ne pas dire que certaines affirmations peuvent être prises en défaut par les contres exemples ad hoc).

Mais on espère néanmoins que le gain --amener les étudiants à une approche pragmatique et active des problèmes mathématiques qui correspondent aux activités de reprėsentation quantitative des phénomènes physiques-- compensera cet inconvénient.

L'espace et ses objets n'est pas intéressant pour l'ingénieur tant qu'il n'y introduit pas de mouvement. La deuxième partie porte donc sur l'introduction du mouvement qui est réalisée avec une tactique similaire.

Et finalement les problèmes de diffusion et d'advection sur une densité scalaire sont introduits dans une dernière partie qui comporte également une introduction aux transformées de Fourier et de Laplace.

La représentation mathématique ad hoc pour l'espace sensible serait a priori celle de l'espace ponctuel euclidien. Mais dès lors qu'une origine est fixée celui-ci s'identifie à l'espace vectoriel euclidien de dimension 3, appelé . Aussi l'espace ponctuel est-il assimilé à l'espace vectoriel. Et c'est cet espace vectoriel qui est utilisé pour représenter l'espace sensible.

Parce qu'ils représenteront des objets réels (ou des abstractions de ces objets), il est intéressant d'introduire des propriétés reliants certains points de l'espace à d'autres. Cette relation permet alors de sélectionner ces points comme un ensemble qu'on appelle (selon une terminologie un peu ancienne) un lieu de l'espace.

Trois types de lieux de l'espace particulièrement utiles sont étudiés : les lignes, nappes et domaines. Puisqu'il s'agit des courbes dans l'espace, des surfaces et des volumes, la sémantique peut paraître curieuse : elle a été utilisée, par exemple pour les nappes, pour permettre de distinguer entre « surface » l'ensemble de points qui la constitue et « surface » la mesure de cette « surface ».

L'étude consiste à définir paramétriquement les lieux puis à donner des définitions implicites et finalement à fournir tout un vocabulaire permettant leur description qualitative.

Certaines notions mathématiques s'introduisent lors de l'étude. On a tenté à la fois de les définir à la volée et de fournir les liens (essentiellement vers wikipedia pour ne pas dire uniquement) où elles peuvent être approfondies en cas de besoin.

Pour finir sur les commentaires, il n'est pas impossible que certains trouvent cette matière ardue. Elle l'est ! Mais les raisons de ces difficultés ne viennent pas tant d'un inexplicable préjugé en faveur de l'abstraction vaine que du fait que les objets réels de l'espace réel ne se laissent pas représenter si aisément par un formalisme qui autorise le calcul et par là même la possibilité de les manipuler par la pensée. Ce genre de manipulations étant le cœur même de la pratique de l'ingénieur.

Un point de l'espace est donc un élément ; on le note avec une flèche surlignante

Il est possible de manipuler de façon abstraite les éléments de à partir de la définition de l'espace vectoriel auquel on ajoute une structure euclidienne.

Un résultat (parmi d'autres) de ces manipulations est qu'on peut introduire une base orthonormée de l'espace , appelons là et alors les vecteurs de sont de la forme où sont appelées les coordonnées cartésiennes du vecteur

Dire que la base est orthonormée signifie que leurs produits scalaires sont tels que

Et donc le produit scalaire des vecteurs est

À partir de ce produit scalaire, on définit la norme (euclidienne) d'un vecteur comme

S'il est entendu que l'espace est l'espace des positions, l'unité physique de ses éléments est le mètre. Il serait donc cohérent de faire porter cette unité par les vecteurs de base, les coordonnées étant des nombres sans dimension qui fixeraient la quantité d'unité de longueur portée par les vecteurs de base.

Mais ce n'est pas si commode dans la pratique, aussi préfère-t'on que ce soient les coordonnées qui portent l'unité de longueur alors que les vecteurs de base sont eux sans dimension. Bien évidemment, cela entraîne une certaine incohérence dès lors qu'on a affirmé que les vecteurs de base étaient des éléments de l'espace .

Nous choisirons supporter cette incohérence plutôt que de chercher à l'élucider, ce qui aurait entraîné une certaine lourdeur qu'on préfère éviter.

Une seconde opération entre vecteurs est le produit vectoriel qu'on définit à partir des vecteurs de base comme

Le produit vectoriel entre et peut se calculer simplement à partir du déterminant

La dernière opération entre vecteur est le produit mixte. Sa définition à partir des vecteurs de base est un peu longue à écrire explicitement mais facile à décrire : si est une permutation paire des , le produit mixte vaut 1 ; si c'est une permutation impair, il vaut -1 ; et si deux quelconques de ces vecteurs sont égaux, il vaut 0.

Pratiquement le produit mixte des , et se calcule comme le déterminant

Les produits scalaire, vectoriel et mixte permettent l'expression analytique de grandeurs géométriques (la longueur d'un segment projeté sur un autre, l'aire du parallélogramme de bases formées par deux segments, le volume d'un parallélépipède de bases formées par trois segments)

Une ligne peut être définie de plusieurs façons, mais on va se limiter ici à la représentation paramétrique : c'est l'image de l'intervalle par une application

Il est nécessaire de munir ces fonctions de propriétés minimales pour obtenir ainsi un lieu de l'espace qui ressemble à l'idée intuitive qu'on se fait d'une ligne dans l'espace, quelque chose comme cela

Les propriétés sont :

• la continuité des . Sans elle, la ligne comporte plusieurs morceaux, elle est dite non connexe.
• la différentiabilité des . Sans elle, la ligne n'admet pas de tangente.
• la contrainte que les dérivées des ne s'annulent pas simultanément. Sinon il y a des points de rebroussement.
• L'injectivité de la fonction . Sinon il y a des points doubles ou pire encore.

On voit donc que l'étude générale des lignes est un chapitre en soi des mathématiques. Mais on cherchera moins l'exhaustivité en la matière qu'une saine compréhension des notions minimales permettant de manipuler des lignes en vue d'applications concrètes.

Ceci étant dit, on n'a pas précisé ce qu'est la dérivée de la fonction . C'est la fonction

Cette fonction existe si les limites existent pour chacunes des fonctions et lorsqu'elles existent pour tout les de l'intervalle on dit que ces fonctions sont dérivables dans cet intervalle.

Lorsque la fonction existe, on peut associer à chacun des points une droite qui est une nouvelle ligne définie paramétriquement comme indiqué sur la figure. Cette droite est appelée la droite tangente à la ligne en .

Et la droite tangente est intéressante notamment parce qu'elle peut être vue comme une approximation de la ligne autour du point ; c'est à dire que pour les positions suffisamment proches de la ligne ne diffère pas sensiblement de sa droite tangente en cette position.

Après cela, il est temps d'insister sur la distinction entre les points de la ligne et la paramétrisation particulière qui permet de générer ces points. Si plutôt que

Cela porte à demander que la droite tangente en un point de la ligne soit définie de manière qui ne dépende pas de la paramétrisation particulière qui a servi à construire cette ligne.

Pour cela, il suffit d'utiliser comme vecteur directeur de la droite tangente, le vecteur

Pour examiner ce que devient ce vecteur avec la paramétrisation , on peut écrire (par la dérivation de fonction composées)

Si on nomme abstraitement un point de la ligne (qui peut être obtenu par une paramétrisation de celle-ci comme ), on peut donc lui associer le vecteur tangent à la ligne qui est (ce vecteur pouvant être obtenu par la paramétrisation comme ).

Ces considérations permettent de parler d'une ligne, des vecteurs tangents en ses points et des droites tangentes qu'ils génèrent sans nécessairement introduire de paramétrisation. Lorsqu'on le fait, on sait qu'il suffit d'introduire une paramétrisation pour obtenir des expressions de calcul concrètes.

Comme pour les lignes, on va se limiter à la représentation paramétrique des nappes. Le terme « nappe » a été utilisé pour « surface » qui lui sera réservé pour désigner la mesure d'une portion de nappe.

Dans cette représentation paramétrique, une nappe est l'image de l'intervalle par une application

Ces fonctions coordonnées, sont des fonctions à valeur réelle mais dépendant de deux variables réelles. Cela entraîne une difficulté de calcul supplémentaire par rapport aux lignes, mais on va voir cela par étapes.

Tout d'abord, la nappe peut être vue comme un ensemble de lignes (on dit une famille). Considérons ce dessin

• : ces lignes sont les lignes extrémités de la nappe, on dit que l'ensemble qu'elles forment est le bord de la nappe. Comme on n'a pas inclus les valeur 0 et 1 dans le domaine de définition de l'application , ces lignes sont obtenues par un passage aux limites (comme pour les lignes).
• : cette ligne est la ligne décrite par la variable lorsque la variable est fixée à la valeur constante .
• : idem en changeant les en et vice-versa.

L'ensemble des lignes obtenues lorsqu'on fait varier entre 0 et 1 forme ce qu'on appelle une famille de courbes. Mais l'ensemble contient aussi les points de la nappe.

On peut faire, mutatis mutandis, le même commentaire pour les lignes .

Et donc la nappe peut être vue comme une famille de courbes d'au moins deux façons. Mais il y a bien plus de familles de courbes que ces deux familles. On peut s'en convaincre en faisant un changement de variables sur les variables : soit on introduit une application

C'est pour cette raison que, même si une nappe peut être vue comme une famille de courbe, en général on n'insiste pas sur cette interprétation. Mais c'est néanmoins une interprétation très utile. Notamment pour voir ce qu'est le plan tangent en un point de la nappe.

Pour la paramétrisation , un point de la nappe est repéré par une valeur de . Ce point est l'intersection des deux lignes : et .

Les vecteurs tangents à chacune de ces lignes en ce point sont obtenus par dérivation de : pour la première, par rapport à ; pour la seconde, par rapport à . On les note

On veut que ces vecteurs permettent de construire un plan tangent à la nappe en . Il est donc nécessaire que

• Ils ne soient pas individuellement nuls, soit
  
  si l'un d'eux l'était, la ligne dont il est la tangente ne serait pas bien définie.
• Ils ne soient pas alignés l'un sur l'autre, soit
  
  Bien sûr cette condition entraîne celle qui la précède (si le produit vectoriel des deux vecteurs n'est pas nul, c'est qu'aucun des deux vecteurs n'est nul). Mais elle est plus forte qu'elle puisque les vecteurs peuvent ne pas être nuls alors que leur produit vectoriel l'est (lorsqu'ils sont colinéaires).

Avec ces conditions, on peut construire le vecteur normal à la nappe en , c'est

Comme pour les nappes on se limite à la représentation paramétrique des domaines. Le terme domaine a été utilisé pour « volume » qui sera réservé pour désigner la mesure d'une portion de domaine.

Dans cette représentation paramétrique, un domaine est l'image de l'intervalle par une application

Ces fonctions coordonnées, sont des fonctions à valeur réelle mais dépendant de trois variables réelles. Le traitement est analogue à celui des fonctions qui définissaient les nappes, en rajoutant juste une variable.

Le domaine peut être vu comme une famille de nappes : les nappes sont celles qui sont paramétrées par et le paramètre supplémentaire qui indexe les nappes dans la famille est

Mais on peut aussi choisir les nappes ou encore

La condition pour que l'application soit la paramétrisation d'un domaine est déjà que les éléments de ces familles soient vraiment des nappes. Et il faut aussi ajouter que le paramètre d'indexation des nappes dans une famille conduit bien à former des nappes différentes lorsqu'il varie.

Pour cela il faut et il suffit que le produit mixte des trois vecteurs soit non nul, soit

Suivant la complexité de la forme du domaine qu'il s'agit de décrire, le produit mixte en un point de ce domaine peut prendre toute une série de valeurs mais il ne doit jamais s'annuler.

On convient en général de choisir la paramétrisation pour qu'il soit positif. Ce qui revient, au cas où on aurait une paramétrisation où il est négatif, à choisir l'un quelconque des couples de .

Les lieux ont été définis paramétriquement. Mais ils peuvent aussi l'être par des conditions portant sur les coordonnées. Appelons cela une définition implicite.

Si on donne une fonction

Suivant les propriétés dont on munit et/ou l'expression qu'on lui donne, l'ensemble peut être

• vide, e.g.
• limité un ou quelques points, e.g.
• Un nombre infini de points séparés les uns des autres, e.g.
• Une ligne, e.g.
• Plusieurs lignes, e.g.
• Une nappe, e.g.
• Un domaine, e.g.
• Et bien d'autres choses encore...

La condition à ajouter pour obtenir le résultat est que les dérivées partielles de par rapport aux coordonnées ne s'annulent pas toutes simultanément lorsque

Cette condition, appelée la condition du théorème des fonction implicites est celle qui permet par exemple d'affirmer que

On ne montre là que l'aspect suffisant de la condition et on admettra son aspect nécessaire.

Le gradient

Pour synthétiser ces résultats, le plus simple est encore d'introduire déjà la fonction

On appelle gradient de le vecteur dépendant de la position (on dira le champ de vecteurs plus loin) défini par

La définition implicite d'une nappe

Une nappe est alors définie comme

Un élément important de la nappe définie sous forme paramétrique était son vecteur normal en un point . Avec la définition implicite, ce vecteur normal d'exprime comme

La définition implicite d'une ligne

La définition implicite d'une ligne consiste à la représenter comme l'intersection de deux nappes définies elles-même implicitement.

On dispose d'une première nappe

L'intersection des deux nappes forme un ensemble

Cet ensemble peut être

• Vide, e.g.
• Réduit à quelques points, e.g.
• Une ligne, e.g.
• Et d'autres lieux...

Pour obtenir une ligne, il faut que l'intersection des deux nappes ne soit pas vide et que le produit vectoriel des gradients de et ne soit pas nul aux points d'intersection. Ce produit vectoriel permet de trouver le vecteur tangent aux points de la ligne, définis par

On aurait également pu choisir l'opposé de ce vecteur

comme vecteur tangent. La définition de la ligne comme intersection de deux nappes ne dit rien de l'orientation de cette ligne, c'est laissé libre.

Insuffisance de la description paramétrique

Un lieu est dit borné si

On considère un domaine borné défini paramétriquement à partir de l'application (différentiable)

Si le domaine est borné, l'application doit (je n'en suis pas sûr mais ça semble raisonnable) admettre une limite lorsque les atteignent 0 ou 1.

A priori, le bord du domaine est l'ensemble

Chacune de ces facettes peut former une nappe ou non. Si par exemple

De plus, même le cas

C'est ce genre de raisons qui limite l'intérêt de la définition paramétrique des domaines. Les voir comme l'image d'un pavet ne permet pas d'identifier simplement leurs bords.

Tentative de description qualitative d'un domaine et de son bord

Ce bord d'un domaine, par ailleurs, est assez clairement l'ensemble des points qui n'appartiennent pas au domaine mais qui ne lui sont pas non plus tout à fait extérieurs dans le sens qu'on peut trouver des points du domaine qui leur sont aussi proches qu'on le veut. Et de la même façon on peut trouver des points qui n'appartiennent ni au domaine ni à son bord qui sont aussi proches qu'on veut des points du bord.

Pour préciser cela il faudrait introduire des notions qui relèvent de la topologie ; ces notions permettent d'appréhender abstraitement ce qu'on a appelé les lieux (de points) et de fournir un cadre formel éclairant qui ne nécessite pas les calculs laborieux des définitions paramétriques qui ont été faites.

Ce serait trop long d'introduire ces notions. Par contre on peut introduire des éléments de langage plus ou tirés de ces notions qui permettent de décrire qualitativement des ensembles comme ceux des domaines.

Un domaine doit donc être perçu comme un ensemble de points tels que chacun de ces éléments est le centre d'une boule suffisamment petite pour que tous les points de la boule appartiennent au domaine.

Le bord de ce domaine est l'ensemble des points tels que, si petite soit la boule qu'on forme avec ces points aux centres, celle-ci contiendra à la fois des points du domaine et des points qui ne lui appartiennent pas.

L'extérieur du domaine est l'ensemble des points qui n'appartiennent pas au domaine telsqu'on puisse toujours trouver une boule suffisamment petite pour que tous les points de la boule soient extérieurs au domaine.

En s'aidant éventuellement d'un dessin

Connexité et simple connexité des domaines

Les domaines ainsi conçus, ont des degrés de complexité. Ces degrés sont qualifiés par la notion de connexité.

Un domaine est connexe s'il est d'un seul tenant. Ou encore s'il est possible de joindre deux points quelconques du domaine par une ligne telle que chacun des points du domaine sont intérieurs à ce domaine.

Un domaine non connexe est composé de parties qui sont elles connexes et qu'on appelle ses composantes connexes. Il est possible de concevoir un domaine qui a un nombre infini de composantes connexes mais soit ce domaine n'est pas borné, soit certaines de ses composantes connexes deviennent si petites qu'on ne peut plus trop les assimiler à des domaines connexes. Mais laissons là ce genre de subtilité.

Un domaine connexe est dit simplement connexe s'il ne comporte pas de trous intérieurs (penser à l'enveloppe d'un ballon) et qu'il ne comporte pas de boucles. Pour voir ce qu'est une boucle, il suffit de considérer le tore

On n'a pas jusqu'ici cherché à donner une définition implicite des domaines dans la section éponyme parce qu'il faut pour cela disposer des notions de connexité et surtout simple connexités qui sont expliquée dans la sous-section précédente.

On a également vu, toujours sans la sous-section précédente et sur le cas du cube, que ce qu'on pourrait raisonnablement assimiler au bord d'un domaine à quelque chose qui ressemble à une nappe mais n'en est cependant pas tout à fait.

Il est donc nécessaire d'élargir la définition de la nappe pour qu'un bord de domaine puisse être un nappe.

Description qualitative des nappes

Une nappe peut être vue comme un ensemble de positions tels que, pour chacune d'entre elles on puisse trouver une boule dont il est le centre et suffisamment petite pour que les points qu'elle contient forment deux ensembles disjoints et séparés par les positions de la nappe.

Les nappes ainsi conçues ont, comme les domaines, des degrés de complexités qui peuvent déjà être appréhendé au moyen des notions de connexité et simple connexité.

Comme donc pour un domaine, une nappe est connexe si elle est d'un seul tenant. Il est possible de joindre deux quelconques de ses points par une ligne dont tous les points appartiennent à la nappe.

La nappe est simplement connexe s'il est possible de réduire, par déformation continue (cette déformation n'est pas plus définie qu'elle ne l'a été pour les domaines, on est prié de s'en faire une idée par soi-même), une ligne fermée sur elle même et tracée sur la nappe à un point de la nappe.

Un nappe qui n'est pas simplement connexe est une nappe qui comporte un ou plusieurs trous.

Les nappes ont aussi une dimension de complexité en dehors de la connexité. C'est celle de l'orientabilité. Celle-ci se comprend bien avec l'exemple ruban de Moebius

Si on dessine une ligne continue de "+" sur le ruban

Si on plante des épingles au centre des "+", toujours dans le même sens et en les plaçant une par une, on arrive à ce que la dernière épingle avant de revenir à la première plantée se retrouve orienté en sens inverse de cette première épingle

Les épingles figurent les vecteurs normaux à la nappe. La petite expérimentation menée avec ces épingles fait voir qu'il n'est pas possible de munir chacun des points du ruban de Moebius d'un vecteur normal de façon que les vecteurs normaux de deux points voisins soient approximativement les mêmes.

Si on essaie de le faire on trouvera toujours un endroit où deux points voisins du ruban ont des vecteur normaux de sens opposé.

Une nappe qui recèle cette caractéristique est dite non-orientable. Et orientable si elle ne l'a pas.

Le bord des lignes, nappes et domaines

Il reste finalement une dernière notion à préciser. Qu'on a d'ailleurs déjà utilisé pour les lignes quand on a invoqué les lignes fermées sur elles même.

La ligne fermée sur elle même correspond à un élastique bracelet

Si elle n'est pas fermée sur elle même, elle comporte deux extrémités, on peut appeler celles ci le bord de la ligne. À partir d'une de ces extrémités, on peut se déplacer le long de la ligne d'un côté mais pas de l'autre.

Il y a aussi des nappes fermées sur elles même, par exemple la sphère, sous forme implicite

Lorsque la nappe n'est pas fermée sur elle même, ses extrémités forment une ligne, qu'on peut appeler son bord. Même une surface... disons excentrique a un bord, On peut examiner celui d'un ruban de Moebius en coupant celui-ci le long de la ligne où on a dessiné les croix, cela donne

Ce ne sont pas des choses simples. Mais heureusement on ne va pas à chercher à étudier cela précisémment, c'est à dire en introduisant les notions mathématiques qui permettent cette précision.

Par contre, ces petites expérimentation avec une bande de papier amènent à comprendre au moins intuitivement, ce qu'est le bord d'une nappe. C'est un ensemble (non nécessairement connexe) de lignes.

Si maintenant on revient au cas où la nappe n'a pas de bord (la sphère), on se rend compte qu'elle délimite tout l'espace en deux parties. Comme on l'a vu précédemment, pour toute nappe (y compris celles qui ont un bord) et pout tout point de cette nappe, il est possible de trouver une boule centrée sur lui et suffisamment petite pour que qu'une partie des points de la nappe soit située localement d'un côté de la nappe alors que les autres sont situés de l'autre côté. Mais quand la surface n'a pas de bord, cette propriété locale devient globale.

C'est à dire qu'un nappe sans bord (ou fermée sur elle-même) sépare l'espace en deux partie : l'une est d'un côté de la nappe et l'autre est de l'autre côté.

Description implicite des domaines

Cette dernière affirmation permet la définition d'un domaine comme l'ensemble des points qui sont situés d'un seul côté d'une nappe fermée ; cette nappe étant le bord du domaine.

C'est une définition implicite si la nappe est donnée sous forme implicite. Par exemple la boule centrée sur l'origine et de rayon est

Lorsqu'on définit ainsi un domaine, on prend systématiquement la convention d'orienter les vecteurs normaux en chacun des points de son bord vers l'extérieur du domaine.

Mais, à ce propos, il reste encore à ajouter que, par exemple dans le cas du cube dont le bord est l'ensemble des facettes de ce cube (auxquelles on ajoute les arêtes), il est possible que certaines lignes tracées sur ce bord n'aient pas de vecteurs nomraux bien définis.

Dans ce cas on convient de ne pas s'inquiéter de cela avec l'argument (qui pourait être précisé mathématiquement) qu'un nombre fini de lignes sur une nappe correspond à un ensemble de points assez rares par rapport à ceux qui ne sont pas sur la ligne. On dit que les vecteurs normaux sont définis presque partout (et on suppose que le fait qu'ils ne le soit pas partout ne gène en rien pour ce qu'on a à faire avec le domaine).

Les objets à 3 dimensions d'espace sont représentés par des domaines (pour reprendre la terminologie de Newton : un corps solide est un morceau d'espace qu'une cause première a voulu impénétrable). Ces objets peuvent avoir des symétries dont il est utile de répertorier les plus courantes.

Symétrie cylindrique

La première de ces symétries usuelles est la symétrie cylindrique : elle traduit l'invariance d'un domaine dans une direction fixe. Pour un domaine défini implicitement, une forme générale est

est la projection de dans le plan passant par l'origine et normal à ; et on peut dire la même chose en remplaçant par à ceci près que le vecteur projeté est et que le plan passe par .

Par exemple avec

et

Symétrie axisymétrique

La seconde des symétries usuelles est la symétrie axisymétrique : elle traduit l'invariance d'un domaine par rotation autour d'un axe.

On la définit facilement en utilisant les coordonnées cylindriques. Pour les obtenir, on pose

Un vecteur peut alors s'écrire

La position est donc spécifiée par trois nombres : qui s'appellent les coordonnées cylindriques de .

L'application de passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes

Ceci étant rappelé, la symétrie axisymétrique d'axe l'axe passant par l'origine et de direction correspond à

Symétrie de rotation (isotropie)

La symétrie par une rotation d'axe quelconque passant par l'origine et la troisième symétrie usuelle. C'est celle de la sphère.

Les coordonnées adaptées pour la décrire sont les coordonnées sphériques. On pose

Ce qui s'inverse en

Un vecteur peut alors s'écrire

La position est donc spécifiée par trois nombres : qui s'appellent les coordonnées sphériques de .

L'application de passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes est

Cette application est est continue et différentiable (indéfiniment) et bijective sur les ensemble de départ et d'arrivée spécifiés. Son inverse (également différentiable) peut être construit comme pour les coordonnées cylindriques. Il n'y a pas de difficulté pour trouver ; l'angle se trouve avec la même formule que pour le des coordonnées cylindriques ; et l'angle par une formule analogue quoique plus simple puisque .

Ces formules peuvent paraître compliquées mais un dessin permet de les rendre plus intelligibles, par exemple

D'une façon générale, le mouvement peut être représenté par la donnée d'une application

est supposée bijective et différentiable (au moins deux fois) et d'inverse différentiable et cela à la fois par rapport à la variable de temps et d'espace

La surjectivité est demandée par la physique qui n'admettrait par exemple pas que des points de l'espace ne soient pas atteignables par un mouvement (cela créerait des trous dans l'espace).

L'injectivité parce qu'on refuse que deux particules matérielles situées initialement à des positions différentes se retrouve en une même position à un instant quelconque.

La différentiabilité traduit le fait qu'on n'admet pas de discontinuité dans le mouvement : deux particules prochent l'une de l'autre le resteront à temps fini dans leur mouvement.

La vitesse de la particule matérielle qui est initialement en est

En général, le mouvement n'est pas donné par l'application mais par le champ de vitesses eulérien et alors l'application est à trouver comme solution de l'ensemble continu d'équations différentielles ordinaires

Il y aurait beaucoup de choses à dire encore mais on va en rester là dans le cadre de cet enseignement.

Un champ de scalaire est une application

Les champs de scalaires peuvent représenter

• des potentiels, e.g. le potentiel gravitationnel à partir duquel le champ de pesanteur est ;
• des densités de quantité, e.g. la concentration en sel dans un domaine qui représente un certain volume d'eau.

On va constamment utiliser la dénotation de densité de quantité pour étudier les champs scalaires. Parce qu'il sera toujours possible de rattacher les expressions mathématiques à une interprétation physique bien plus simple que celles qui correspondent aux potentiels.

Aussi, évite-t'on de nommer ces potentiels avec des lettres comme mais on va plutôt utiliser , soit

Prêter à la dénotation d'être une densité de quantité, suppose qu'on introduise déjà la quantité dont elle est la densité. Cette quantité peut être n'importe quelle variable extensive au sens de la thermodynamique : la masse, le volume (et aussi la longueur et la surface), l'énergie, la quantité de sel,...

La densité de quantité est une représentation du fait que les quantités sont réparties dans l'espace.

Il est donc nécessaire avant toute autre chose de disposer d'un moyen de quelle quantité contient tel ou tel autre domaine de l'espace.

Supposons que le domaine dont il s'agit soit un petit cube défini paramétriquement par

Si donc le domaine peut être pavé par de tels petits cubes, on peut obtenir la quantité contenue par en sommant toutes les contributions des petits cubes formés en faisant varier .

C'est le principe de l'intégration de Riemann mais il y a là une difficulté supplémentaire : comment remplir un domaine quelconque avec de tels petits cubes ?

Si le domaine est défini paramétriquement comme l'image de l'intervalle par une application

L'image d'un par l'application n'est pas un cube. Mais si est très grand, varie suffisamment peu pour qu'on puisse approximer l'image des arêtes du cube par des segments droits. On obtient donc que cette image est un parallépipède de base les

D'autre part, si le parallélépipède est très petit, la densité ne varie pas sensiblement sur toute son étendue, et donc la contribution de l'image par du petit cube à la quantité cherchée est

Pour obtenir toute la quantité contenue dans le domaine , il suffit de sommer sur tout les cubes pour obtenir

Et finalement le passage à la limite, fournit la quantité

Et c'est ce que qu'on note

Si on on connaît des primitives des intégrales successives de on peut calculer la quantité .

Si on ne les connaît pas, il faut utiliser le calcul numérique. Comme d'ailleurs si la forme du domaine est donnée implicitement et qu'on ne trouve pas de paramétrisation correspondante.

Mais la question du calcul pratique est moins importante ici que la compréhension de ce que signifie

On donne dans tout l'espace un champ de vitesses eulérien

Il y a aussi, toujours dans une quantité qui est répartie avec la densité .

Pour donner une dénotation claire à ce qui suit, la densité dont il s'agit est un nombre de particules par unité de volume.

Le champ de vitesse a pour action transporter les particules au cours du temps ; on suppose qu'elle le sont de façon que si une particule est en à l'instant , elle se retrouvera en à l'instant

La question est de savoir combien de particules traversent la nappe décrite paramétriquement par entre les instants et , étant petit

Pour cela, on découpe cette nappe en petits morceaux comme

Ce morceau n'est pas un parallélogramme, mais si sont effectivement petits l'approximation pour laquelle il l'est est acceptable. On la fait. Cela permet déjà d'affirmer que sa contribution à la surface de la nappe est

Si le parallélogramme est petit, on peut tout aussi bien considérer que le champ de vitesses est uniforme sur les points qui le composent. Ainsi d'ailleurs que la densité . Cela rend possible le calcul du nombre de particules qui traversent le parallélogramme.

Le champ de vitesses sur le parallélogramme est , il s'exprime à partir du vecteur normal à ce parallélogramme comme

On peut alors voir que les particules qui traversent le parallélogramme pendant le laps de temps sont celle qui sont situées dans le volume situé en dessous (par rapport à la direction du vecteur ) de celui-ci et de profondeur

(Les particules sont également entraînées par , mais c'est dans le sens du plan tangent au parallélograme et donc ça ne contribue pas au nombre de particules qui le traversent.)

Si on somme les contributions de tous les parallélogrammes, on obtient (par un passage à la limite) le nombre de particules qui traversent la nappe à l'instant pendant le laps de temps . C'est

en convenant que

soit, encore et puisque

La forme que prend , porte à considérer la densité de flux advectif de particules

qui a pour unité le nombre de particules par et par

On peut ainsi introduire

qui s'appelle le flux advectif de particules : c'est le nombre de particules qui traversent par seconde, ou encore le débit de particules. À partir de ce flux advectif on obtient le nombre de particules qui traversent de à par

Pour finir, jusqu'ici on a particularisé la densité en une densité de particules (ou concentration en nombre) pour des raisons pédagogiques. Mais tout ce qui a été établi reste valable pour toute densité représentant la répartition dans l'espace de n'importe quelle quantité extensive.

Et donc il est possible d'oublier la dénotation de cette densité en nombre de particule par unité de volume en conservant les résultats.

Le flux advectif était dû à la présence d'un champ de vitesses qui déplacait les quantités.

Le flux conductif a une origine à la fois similaire, les particules ne pouvant guère se déplacer sans avoir une vitesse, et différente : d'une part le champ de vitesses qui déplace les particules est une variable aléatoire et d'autre part on ne considère plus tant les particules individuellement qu'en moyenne.

L'explication de cette remarque (qu'on peut juger à juste titre sibylline) relève de la physique et il n'est pas dans l'intention de cet enseignement d'en faire. On se limite en gros à traiter de la configuration et de la cinématique des systèmes.

Aussi va-t'on admettre que le mécanisme de conduction correspond à ce que la densité de flux de particules est

est appelé la diffusivité (en ; c'est une constante positive caractéristique du type de densité à laquelle on associe un mécanisme de conduction.

est le gradient de . On a déjà vu ce qu'était un gradient lorsqu'on a représenté implicitement une nappe. Ce gradient a exactement la même expression. Soit, si (on utilise le même symbole à gauche et à droite pour éviter d'alourdir)

La densité de flux conductif ainsi définie a exactement la même signification que la densité de flux advectif. Si on donne une nappe , que la densité est une densité de particules, le nombre de particules qui traversent la nappe par unité de temps (son flux ou encore débit) est

On considère maintenant une densité de particules dont la densité de flux est , qu'il soit advectif ou diffusif. Cette densité s'écrit en composantes

Et on en cherche le flux à travers le bord du petit cube centré sur et de longueur d'arêtes

La contribution à ce flux de la facette

Le développement de Taylor à l'ordre 1 par rapport à de est

La contribution à ce flux de la facette opposée à cette première facette est

Son développement de Taylor à l'ordre 1 par rapport à de est

Et donc la contribution des deux facettes

On peut faire la même chose pour les deux autres couples de facettes, pour obtenir que le flux à travers le bord du petit cube est

On appelle divergence d'un champ de vecteurs

La propriété essentielle de la divergence, qui d'ailleurs la définit, est que pour tout domaine de bord et pour tout champ de vecteurs on a

On vient de le montrer pour le domaine du petit cube. En effet, si

En remarquant que les flux sortant par une même facette de deux petits cubes justaposé s'annulent algébriquement

Si les cubes deviennent très petits, le domaine devient lisse (son bord peut être assimilé à une nappe lisse, c'est à dire paramétrable par une donction différentiable) et on obtient le résultat

Celui-ci s'appelle la formule de Green-Ostrogradski.

On a obtenu que la quantité répartie dans le domaine avec la densité était

Le flux de cette quantité à travers le bord de ce domaine est

En reprenant l'image des particules, c'est le nombre des particules qui quittent le domaine par unité de temps. Mais ce nombre est aussi

Il vient donc

Si le mécanisme créant le flux est l'advection sous l'action d'un champ de vitesses alors et

Si c'est la diffusion alors où est la diffusivité et

Et si les deux effets sont combinés, on obtient

Une équation aux dérivées partielles (EDP) est une relation algébrique entre un champ et ses dérivées partielles. Par exemple

Une EDP linéaire est une relation linéaire entre le champ et ses dérivées partielles. On classe les EDP linéaire par le degré maximum de dérivation du champ qu'elle contient.

Une EDP linéaire de degré 1 est de la forme

Une EDP linéaire de degré 1 à coefficients constants est de la forme

On va maintenant cesser de reporter systématiquement la dépendance en pour que les expressions soient plus lisibles.

Une EDP linéaire de degré 1 (à coefficients constants ou non) avec un second membre est de la forme

Une EDP linéaire du second ordre est de la forme (lire comme des produits de matrices de lignes ou colonnes 1)

On voit donc que même en se limitant aux EDP de second ordre linéaires et avec second membre, il y a de la variété ! Celles qui sont utiles pour la physique sont cependant répertoriées et c'est de celles-ci qu'on traite.

L'inconnue d'une équation de diffusion à diffusivité constante et sans second membre est un champ scalaire . Il est défini sur un domaine et cherché comme solution de

On appelle laplacien vectoriel de le champ de scalaire défini par

L'équation est définie dans le domaine et les points du bord de ce domaine n'appartiennent pas au domaine. Il faut donc ajouter à l'équation de diffusion des conditions pour espérer obtenir une solution qui ne comporte pas de contantes indéterminées.

Ces conditions qu'on doit ajouter sur sont appelées des conditions aux limites.

Il y a trois type de conditions standards :

• la condition de Dirichlet
  
  ce qui signifie que
  
  où
  
  est une fonction donnée.
• la condition de Neumann
  
  où est une notation pour
  
  étant la normale de dirigée vers l'extérieur de ; où la signification de « sur » est, comme pour la condition de Dirichlet,
  
  et où
  
  est une fonction donnée.
• la condition de Robin
  
  où
  
  et où
  
  est une fonction donnée.

Il est possible de composer la condition de Robin et de Neuman pour obtenir

Des conditions aux limites de plusieurs types peuvent être affectées à un même bord mais à des endroits différents. Si

Une autre condition portant sur est nécessaire pour espérer obtenir une solution dépouvue de constantes indéterminées à un problème de diffusion dans un domaine pourvu de conditions aux limites sur son bord . C'est la condition initiale

Le problème complet s'écrit donc comme

De plus, si les ne dépendent pas du tempsm cette solution finit par ne plus dépendre du temps, soit

L'équation de Laplace est

Si elle a lieu dans tout l'espace, ses solutions sont appelées les fonctions harmoniques. On peut les construire assez facilement à partir d'expressions polynomiales classées par degrés, du moins jusqu'au degré 2

• degré 0, il y en a une
  
• degré 1, il y en a trois
  
• degré 2, il y en a cinq
  

Cela suppose cependant de savoir écrire le laplacien dans ces coordonnées sphériques. C'est à dire que si (on laisse tomber la dépendance en temps)

1. Montrer que la longueur d'une ligne représentée par
   
   est
2. Calculer la longueur d'une spire d'hélice, la spire d'hélice étant définie par
   
3. Lorsqu'on tire sur un ressort hélicoïdal qui initialement est composé de spires d'hélice de rayon et pas , le rayon diminue et le pas s'allonge sans que la longueur de l'hélice par laquelle on représente le ressort ne change. On allonge donc le ressort de de sa longueur initiale, quelle est la variation de rayon ?
4. Calculer le volume d'un ellipsoïde
   
   On cherchera une paramétrisation adaptée.
5. On donne une nappe définie implicitement par ( )
   
   1. Trouver le vecteur normal en chacun des points de la nappe.
   2. Réécrire l'équation de la nappe en coordonnées cylindriques. Identifier ce qu'est la nappe.
   3. Trouver une paramétrisation de la nappe. Et vérifier que le vecteur normal qu'on peut calculer avec cette paramétrisation est le même qu'en a.
6. On considère un tronçon de cylindre à section circulaire (hauteur , rayon ) qui forme un domaine
   1. Écrire une paramétrisation de D
   2. Donner sous forme d'une paramétrisation , le bord de et donner son champ de normales (orienté vers l'extérieur du domaine)
   3. Calculer le volume du domaine et la surface de son bord en utilisant les paramétrisations précédentes.
   4. Soit le champ de vecteurs , calculer
      1. directement ;
      2. En utilisant la formule de Green-Ostrogradski
7. Trouver l'expression de la divergence en coordonnées cylindriques en exprimant la formule de Green-Ostrogradski sur le petit domaine
   
8. Équation de propagation.
   1. On donne une fonction quelconque , dérivable deux fois. Montrer que est solution de
      
   2. Construire une solution de telle que
      
      où est une fonction quelconque.
   3. Chercher la solution de telle que
      
9. Montrer que est solution de
   
   En déduire une loi de progression de défini par où
10. Diffusion de sel dans de l'eau. On place du sel au fond d’une éprouvette de rayon qu’on remplit d’eau pure jusqu’`a une hauteur comptée à partir de l’interface sel/eau.
    Le modèle qui permet de calculer l'évolution de la concentration de sel dans l'eau est celui de la diffusion. Ici la concentration est une fonction
    
    qui est solution de où est la coordonnée dans la direction de l'axe de l'éprouvette ( et le temps.
    Initialement l'eau est pure, donc .
    On fait l'hypothèse que
    et on suppose qu'au contact eau sel, la concentration est la concentration maximale du sel dans l'eau, soit .
    
    1. Chercher la solution sous la forme où est une fonction à déterminer.
    2. On définit le flux de sel en comme la quantité (c'est la quantité de sel qui entre dans l'eau par unité de surface de la section de l'éprouvette. Calculer . Que se passe-t'il en ?
    3. On définit la quantité de sel dans l'eau (par unité de surface) comme . Calculer
    4. Quelle est la relation entre et ?
    5. On appelle front de propagation du sel dans l'eau, la position telle que . Suivant quelle loi dépend-t'il du temps ?
11. On donne le problème
    
    avec
    
    et
    
    où est un fonction donnée.
    1. Écrire l'équation différentielle ordinaire (EDO) et ses conditions aux limites dont la transformée de Laplace de (notée ) est solution.
    2. Résoudre cette EDO et exprimer en fonction de (la transformée de Laplace de )
    3. Dans le cas où , donner l'expression de
    4. Même question pour
    5. Pour fonction quelconque, trouver une relation entre , et
12. On reprend le problème
    
    mais avec des conditions initiales périodiques (elle ne sont plus vraiment initiales)
    
    et une condition aux limites de la forme
    
    1. Montrer que dès lors que prend une valeur à préciser.
    2. Est-ce encore vrai pour , et ?
    3. Si ça l'est, on dispose de 4 solutions de base qui permettent de construire la solution au problème proposé. Le faire.