Les textes en rouge fournissent des pistes de réflexion pour le travail en autonomie.
Le support de la présentation est Lagrange & Hamilton 1D
L'exemple emblématique demande de connaître quelques résultats élémentaires sur les courbes planes : ceux-ci sont rappelés dans Géométrie élémentaire, planches 5 et 6.
Les planches 5 et 8 établissent l'équation du mouvement par les lois de Newton.
Les planches 6 et 7 sont essentiellement des définitions de mots.
La planche 9 entre dans le vif du sujet.
La planche 10 est une mise en forme des équations en vue de passer à l'approche de Hamilton.
La planche 11 explique comment transformer le lagrangien qui dépend de x et de sa dérivée temporelle x-point (variables supposées indépendantes l'une de l'autre) en le hamiltonien qui lui dépend de x et de p (l'impulsion) par ce qui s'appelle une transformée de Legendre.
La planche 12 explicite alors les équations de Hamilton.
La planche 13 applique ces équations au cas l'exemple emblématique.
La planche 14 relie le hamiltonien à ce qu'on appelle l'énergie.
La planche 15 s'auto-explique !
Les planches 16 à 18 montrent (au prix d'un calcul sordide) que les approches de Euler-Lagrange et de Hamilton restent valables quelle que soit la paramétrisation utilisée pour décrire le système mécanique.
La planche 19 montre que les approches introduites restent valables lorsque la masse ponctuelle est mue sous l'action d'une force extérieure dépendant du temps.
La planche 20 est un constat d'échec dans le cas des forces dissipatives.
La planche 21 renvoie aux leçons suivantes pour une généralisation de ce qui précède à des cas plus compliqués.
Les exercices de TDs seront ceux des planches 22 à 24.