Planche 1 : Quelque chose de nouveau !

Jusqu'ici nous n'avons fait que de recenser des notions de mathématiques que vous connaissiez pwu ou prou.

Mais là il me semble que vous ne connaissez à peu près rien dans ce que Pólya a appelé l'heuristique moderne.

Il a notamment développé cela dans son Comment poser et résoudre un problème dont j'ai repris le titre pour l'intitulé de l'enseignement.

Nous examinerons donc (mais se sera à la séance suivante) de façon formelle cet art qui fait que ceux qui le possèdent savent trouver des solutions 😉

Mais cette séance est réservée à l'introduction de quelques éléments de base dans ce qu'on appelle la logique.

Planche 2 : Donc pratiquement

On discute de la logique mathématique.

Mais ce n'est pas en vue d'arriver aux finesses des théorèmes de Gödel.

C'est juste pour connaître quelques concepts de base qui sont d'ailleurs utiles en eux-même pour mener une démonstration rigoureuse.

Planche 3 : Qu'est-ce que la logique ?

L'article de wikipédia

Pour donner une idée de ce qu'on va faire, on peut déjà considérer la phrase : « on appelle ’logique’ est un ensemble de considérations assez abstraites. » que signifie-t'elle ?

Une première façon de l'aborder consiste à créer des ensembles comme 'C', 'L' et 'A et de la traduire comme la relation indiquée : 'L inclu dans A'.

On peut aussi tirer partie de cette inclusion pour illustrer ce qu'on appelle condition nécessaire et condition suffisante.

Il doit être apparent que ce petit exercice a l'avantage de permettre d'affirmer que la phrase est bien comprise.

Les notions qu'on va introduire ont pour unique objectif de permettre de mieux cerner la signification du langage courant.

Planche 4 : Les connecteurs propositionnels.

Plutôt que d'appeler phrases, ce que l'on écrit (ou dit), on les appelle proposition.

Évidemment il s'agit de de phrase de type 'sujet' 'verbe' 'complément'. Les phrases plus complexes étant décomposées en propositions qui sont elles connectées entre elles.

Quelles sont ces connexions ?

Un recensement fournit celles qui sont indiquées.

Pour le 'ou', il est qualifié d'inclusif parce que c'est le 'ou du sens 'et/ou'. Le 'ou' des menus de restaurant est un 'ou exclusif' ; fromage ou dessert signifie que c'est soit l'un, soit l'autre). Mais là, notre où signifie que ça peut être les deux.

Essayons cela sur quelque chose qui anticipe la partie de la leçon qui portera sur l'heuristique mais en se limitant juste au codage des phrases. C'est l'exercice 'a' (on numérote par des lettres les exercices du commentaire, ceux du pdf étant numéroté par des nombres).

Exercice a :

les données : Un sac ne contient que des haricots blancs. Un personnage montre les haricots qu'il a dans sa main ; ces haricots sont blancs. Les haricots dans la main du personnage proviennent du sac.

les questions, coder : « les haricots de la main du personnage proviennent du sac. » ; « si les haricots du sac sont blancs et que les haricots dans la main sont blancs, c'est qu'il viennent du sac. » ; « si les haricots dans la main proviennent du sac, c'est qu'il sont blancs. »

Planche 5 : la table de vérité

Faire l'exercice 1.

Étant entendu que les propositions sont affectées d'une valeur 'vrai' ou 'faux', la connexion de propositions est également affectée d'une valeur qui peut être « calculée ».

Mais pour cela il faut commencer par décider a priori quelle serint les valeurs des connexions élémentaires. Celles-ci sont données dans le tableau.

Pour l'équivalence entre 'A' et 'B', pas de problème : 'A equivaut B' est vrai si et seulement si 'A' et 'B' ont même valeur de vérité.

Pour l'implication, on remarque que la seule disposition pour laquelle 'A implique B' est fausse, c'est quand 'A' est fausse alors que 'B' est vraie. Par contre si 'A' est fausse alors que 'B' est vraie, 'A implique B' est vraie.

Ça peut paraître étrange puisque cela signifie, par exemple que si A = « les poules pondent des œufs » et B = « on peut respirer sous l'eau » alors il est vrai d'affirmer que 'B implique A' et faux que 'A implique B'. Si personne ne trouvera trop anormal de considérer que 'A implique B' est faux, tout le monde sera surpris par le fait d'accepter que 'B implique A' est vraie.

C'est parce que il n'y a aucun rapport entre les deux propositions et donc on ne voit pas comment l'une pourrait impliquer l'autre (ou pas d'ailleurs). On préférerait dire que c'est ni vrai ni faux, seulement absurde.

Mais la logique qu'on utilise demande que les propositions soient vraies ou fausses et donc ilfaut impérativement faire un choix par défaut. Et c'est celui de la table qui est fait.

Cette question est loin d'être triviale et elle a été (et est sans doute encore) discutée mais nous n'entrerons pas dans ces discussions (quelqu'intérêt elles pourraient présenter).

Nous acceptons donc ce qui est proposé par la table comme vrai. Et si, dans un problème particulier, les conclusions auxquelles ce parti pris nous mène se révélaient insoutenables, nous reviendrions sur le parti pris.

Planche 6 : Les formules et quelques formules valides

Faire l'exercice 2.

Le tiers exclu affirme qu'une proposition est soit vraie soit fausse (c'est en rapport avec ce que nous venons de dire sur la table de vérité de l'implication).

La contraposition est ce qu'on pratique quand on peine à montre 'A implique B' ; du coup on essaie de voir s'il ne serait pas plus facile de monter 'non B implique non A'.

Et finalement la formule « ('A implique B') equivaut (non A ou B) » présente l'avantage de faire un pont entre le connecteur 'ou' et le connecteur 'implique'.

Exercice b : fabriquer les tables de vérité des deux dernières formules.

Faire l'exercice 3 (indépendamment des tables de vérité de l'exercice b)

Planche 7 : Le raisonnement par l'absurde

Il se présente comme dans la formule indiquée et les explications de la planche devraient être satisfaisantes.

Faire l'exercice 4.

L'intérêt de transformer des formules contenant 'implique' en formules ne contenant plus que des 'et' et 'ou' est celui qui est indiqué.

Planche 8 et 9 : Les prédicats

Faire l'exercice 5.

Exercice c : donner un exemple de syllogisme.

Planche 10 : Il est assez difficile de présenter ce qu'on appelle l'heuristique

Il serait très utile de disposer de méthodes sûres pour analyser les problèmes qui nous sont soumis.

Mais hélas, si on peut bien définir des méthodes, aucune d'entre elles ne peut être qualifiée de sûre.

Descartes s'est essayé à cela dans son discours de la méthode ; et pour légitimer le contenu de son discours il l'a présenté comme la méthode qui lui a permis d'inventer entre autres : une mécanique (celle des tourbillons) qui s'est avéré rapidement dépassée mais surtout la géométrie analytique qui elle n'est pas du tout dépassée à notre époque.

Il a dégagé des règles pour la direction de l'esprit qui ont été commentées à de multiples reprises.

Peut-être que l'un de ces commentaires les plus pertinent est-il celui de Duhem dans son la théorie physique, son objet, sa structure

Mais les commentaires sur Descartes et ceux qui l'ont lu relèvent plus d'un enseignement de philosophie que d'un enseignement à vocation pratique en vue de savoir « poser et résoudre un problème. »

Aussi, cette leçon ne portera pas sur la partie culturelle du sujet. Sa visée est plus pratique.

Planche 11 : Nous allons utiliser l'exemple des corbeaux d'Hempel

Lisez son énoncé.

Inférer signifie créer une proposition qui peut donc être vraie ou fausse.

On tombera d'accord que le fait de voir quelques corbeaux noir est une raison suffisante pour faire l'inférence.

Mais on n'est pas sûr que la proposition soit vraie. Et ce n'est pas le genre de chose qui peut se démontrer au sens mathématique du terme.

D'où, au point 5, cette idée d'introduire une valeur de vérité à la proposition décider de la validation ou de l'invalidation de la proposition.

Et au point 6 la définition vague (quelle est la loi avec laquelle on augmente la valeur de vérité chaque fois qu'on voit un corbeau noir de plus ?) d'un procédé de contruction de la valeur de vérité.

La question est de savoir si le procédé est lui-même valable. Nous allons voir que dans un sens strict, c'est non.

Planche 12 : Déjà l'examen de la proposition.

On utilise la logique pour faire cet examen

comme la proposition est de la forme 'A implique B', elle est équivalente à 'non(B) implique non(A)'.

Comme 'A' et 'B' sont des prédicats, ça s'écrit comme indiqué.

Et on aurait pu le trouver uniquement en utilisant le langage ordinaire.

Planche 13 : ensuite l'examen du procédé à base de valeur de vérité.

En reprenant la contraposée, on fabrique un procédé analogue.

Et on arrive à quelque chose de surprenant qu'on n'accepte pas.

Planche 14 : Quelque chose cloche. Mais où ?

C'est nécessairement dans une des abstaractions qu'on a introduit.

Et comme on n'a introduit comme abstraction que cette « valeur de vérité », c'est elle qu'il faut suspecter.

En termes de logique, on pourrait dire les choses ainsi : si A = 'la valeur de vérité est une notion bien définie' ; P = 'voir un canari jaune augmente la valeur de vérité de la proposition selon laquelle tout les corbeaux sont noirs'.

On a montré que 'A implique B' mais B est faux, donc A ne peut pas être vraie (cf. table de vérité de l'implication).

Planche 15 : Tout semble écrit dans la planche.

Planche 16 : On a utilisé un exemple non mathématique (en tout cas qui peut se traiter sans introduire aucune notion mathématique).

Mais le « phénomène » qui a été mis en évidence est fréquent dans les problèmes mathématiques.

Pour bien le voir, on peut faire l'exercice 6. Il est tiré des exemples que donne Dieudonné (un membre du groupe Boubaki) sur la « légéreté » avec laquelle les mathématiciens du XVIIIième siècle traitaient les séries.

Mais il ne faut pas en conclure que des gens comme Euler étaient de mauvais mathématiciens. C'étaient au contraire de véritables génies qui sont arrivé à trouver des solutions à des problèmes que personnes n'avaient résolu avant eux.

Et c'est peut-être bien parce qu'ils n'avaient pas peur d'écrire quelque chose de faux pour l'examiner.

Planche 17 : Ce qui est en bleu est ce qu'il faut retenir de cette première incursion dans l'heuristique.